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Titre: Sensibilité et Stabilité en Optimisation Abstraite, en Points Fixes et en Solutions d'Inclusions

Domaine: Mathématiques informatique (MI)

Filière: Mathématique

Option: ANALYSE NON LINEAIRE ET OPTIMISATION

Auteur: NACHI Khadra

Soutenu (e) le: 30/06/2007

Sous la direction de: H. Mokhtar-KHARROUBI, Maitre de conférences, Université Oran

Co-directeur:J-P. PENOT, Professeur, Université de Pau et des Pays de l’Adour

Le président du jury : H. GHOUALI, Professeur, Université de Tlemcen

Examinateur1: L. BARBET, Maitre de conférences, Université de Pau et des Pays de l’Adour

Examinateur2: M. BENYETTOU, Professeur, USTO

Invité: A. SMAIL, Maitre de conférences, Université Oran

Résumé:

Trois thèmes importants en mathématiques appliquées sont abordés.Ils sont indépendants mais ils ont des liens.Le premier thème concerne l.étude de la la sensibilité des problèmes paramétrés en programmation mathématique. Dans l.analyse qui est dévelopée dans la cette première partie, l'existence d'une soluition locale du système de Kurush-Kuhn-Tucker de classe C1 est établie lorsque une hypothèse de stricte complémentarité est faite. Il en résulte l'existence d'une solution locale stricte du problème d.optimisation paramétré considéré et l'unicité du multiplicateur de Karush-Kuhn-Tucker. Dans un second temps, l.hypothèse de stricte complémentarité est abandonnée, ce qui donne l.existence d.une solution locale stricte lipschitzienne dérivable directionnellemnt. La sensibilité de la fonction de performance (fonction valeur) est aussi analysée.Le second volet est relatif à la persistance et à la stabilité de points fixes associés à des applications définies sur différentes parties d'un espace métrique. Du fait de la variation des domaines de définition, de nouvelles notions de convergence d'applications sont introduites, étudiées puis comparées avec les notions classiques de convergence simple et uniforme.D'une part, nous établissons des résultats de convergence des points fixes relatifs aux applications paramétrées vers le point fixe de l'application limite. Divers résultats sont obtenus selon que les applications sont contractantes, contractives ou encore non-dilatantes et selon la convergence considérée pour les opérateurs. D'autre part, nous obtenons des résultats d'existence de points fixes pour l'application limite lorsque les applications paramétrées admettent des points fixes. Deux cas principaux sont analysés, celui d'une suite "équi-continue" et "simplement convergente" (en des sens généralisés) et celui d.une suite "uniformément convergente" (en un sens généralisé) vers une application continue. Des résultats de stabilité sont aussi obtenus lorsque les applications paramétrées sont des contractions relativement à diverses distances. Enfin, nous généralisons au cas multivoque certains résultats de stabilité de points fixes.Le dernier thème concerne l.application de concepts de différentiabilité pour l'étude locale de multi-applications. Nous introduisons, dans un premier temps, une nouvelle notion de différentiabilité pour les multi-applications. Des règles classiques de calcul sont établies ainsi qu'une version du théorème des accroissements finis. Nous définissons, dans un second temps, la notion plus forte de "péri-différentiabilité" d'une multiapplication généralisant la notion de stricte différentiabilité dans le cas1 univoque. Après avoir établi diverses propriétés, nous généralisons au cas multivoque le théorème d.inversion locale ainsi que le théorème des fonctions implicites. Enfin, nous appliquons ces résultats à la résolution d'inclusions différentielles.


Mots clefs: Condition d"optimalité; Fonction de performance; Mutiplicateur de Lagrange; Application contractante; Non dilatante; Stabilité et convergence de points fixes; Différentiabilité de multi-applications; Inversion locale; Multi-application implicite; Inclusion différentielle.