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Titre: Sur la somme, le produit et le passage à l’adjoint dans la classe des opérateurs fermés sur un espace de Hilbert

Domaine: Mathématiques informatique (MI)

Filière: Mathématique

Option: Analyse Fonctionnelle

Auteur: Azzouz Abdelhalim

Soutenu (e) le: 27/09/2011

Sous la direction de: MESSIRDI Bekkai, Professeur, Université d’Oran

Le président du jury : TERBECHE Mekki, Professeur, Université d’Oran

Examinateur1: SENOUSSAOUI Abderrahmane, M.C.A, Université d’Oran

Examinateur2: CHEGGAG Mustapha, M.C.A, ENSET Oran

Examinateur3: BENDOUKHA Berrabah, Professeur, Université de Mostaganem

Examinateur4: ABDELLAOUI Boumediene, M.C.A, Université de Tlemcen

Invité: MORTAD Mohammed Hicham ,M.C.A, Université d’Oran

Résumé:

Dans cette thèse, on présente nos résultats concernant la somme et le produit, ainsi que la formule de l'adjoint de la somme et du produit de deux opérateurs linéaires fermés sur un espace de Hilbert H. Contrairement à la classe des opérateurs bornés, la classe des opérateurs fermés non bornés n'est pas un groupe ni pour la somme, ni pour le produit d'ailleurs. Dans les préliminaires de cette thèse, on présente les principales notions de la théorie des opérateurs linéaires fermés sur un espace de Hilbert (fermeture, graphe, adjoint..) et donne un aperçu des métriques sur la classe des fermés basée sur la métrique de gap g qui ont été développées pour essayer de la compléter. On présente aussi des exemples montrant l'instabilité de la classe des fermés vis-à-vis la somme et le produit, ce qui constitue nos motivations de cette thèse. On présente, dans un chapitre séparé, des conditions, issues de la littérature, pour lesquelles Le produit de deux opérateurs fermés soit aussi fermé. La condition suffisante de stabilité qu'on présente est basée sur une métrique d qui est, à son tour, est inspirée de la notion du bissecteur d'un opérateur fermé. On ajoute aussi une condition suffisante de stabilité basée sur les graphes des opérateurs, donc géométrique, et là aussi on montre que si la somme du graphe d'un opérateur fermé A et du graphe d'un autre, disons -B, est fermé et si N(I+AB) est fermé alors le produit AB est aussi fermé et on vérifie alors la formule de l'adjoint . Dans le chapitre suivant, on présente les conditions de stabilité de la somme de deux opérateurs linéaires fermés. On obtient des résultats sur la stabilité à l'aide d'une suite de conditions géométriques et topologiques sur les ensembles aux opérateurs fermés A,B, c. à.d. les noyaux, les orthogonaux…On obtient aussi par les mêmes conditions la formule de l'adjoint de la somme de deux opérateurs fermés.Nos perspectives seront de découvrir une approche de compléter la classe des opérateurs fermés C(H) soit par l'introduction d'une nouvelle métrique pour laquelle C(H) soit complet, soit par l'introduction d'une nouvelle classe d'opérateurs, qui contiendra C(H), complète par la métrique du gap g et d'étudier le complété de C(H).


Mots clefs: Opérateurs fermés; Opérateurs fermables; Métriques sur C(H); Métriques de gap; Complétion de C(H); Somme et produit des opérateurs


Publications associées à la thèse

Article 2854:

Titre: Colloquium Mathematicum

Revue: Topological characterization of the product of two closed operators

Référence: Vol. 112, 2008, pp (269-278). 2008

Date: 2008

Publications associées à la thèse

Article 2855:

Titre: Bulletin of Mathematical Analysis and Applications

Revue: New results on closedness of sum and product of two closed operators

Référence: Bulletin of Mathematical Analysis and Applications ISSN: 1821-1291, URL: http://www.bmathaa.org Volume 3 Issue 2(2011), Pages 151-158.. 2011

Date: 2011